By Anton Deitmar (auth.)

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3) Zu jedem a in K {0} gibt es ein b ∈ K mit der Eigenschaft ab = 1. neutrales Element {0} inverses Element 30 KAPITEL 2. 4) ab = ba Kommutativit¨at Insbesondere ist dann (K {0}, ·) eine abelsche Gruppe. K3 Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac. Diese Axiome sind nun in dem Sinne vollst¨andig, dass sich alle ublichen ¨ Rechenregeln, die nur die Addition und Multiplikation betreffen, aus ihnen herleiten lassen. 2. • Die Menge Q ist mit der ublichen Addition und Multiplikation ein ¨ Korper. ¨ • Jeder Korper hat mindestens zwei Elemente, die Null und die Eins.

Das Maximum zweier Zahlen a, b ∈ K ist die großere der ¨ beiden, also    a falls a ≥ b, max(a, b) =   b falls a < b. Der Absolutbetrag einer Zahl x ∈ K ist    falls x ≥ 0, x |x| = max(x, −x) =   −x falls x < 0. 7. Sind x, y aus dem angeordneten K¨orper K , so gilt |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0 |xy| = |x||y| |x + y| ≤ |x| + |y| (Definitheit) (Multiplikativit¨at) (Dreiecksungleichung). Beweis. Ist x ≥ 0, so ist |x| = x ≥ 0. Ist x < 0, so folgt |x| = −x > 0, damit also in jedem Fall |x| ≥ 0.

Xn } eine nichtleere endliche Menge. Definiere dann φ : N → X durch    x j falls j ≤ n, φ(j) =   x1 sonst. Die Abbildung φ ist surjektiv. Fur ¨ (b) sei X abz¨ahlbar und ∅ Y ⊂ X und sei eine surjektive Abbildung φ : N → X gegeben. Mit einem fixierten Element y0 ∈ Y definiert man eine surjektive Abbildung ψ : N → Y durch    φ(n) falls φ(n) ∈ Y, ψ(n) =    y0 sonst. Die Aussage (c) ist trivial. (d) Fur ¨ jedes n ∈ N sei eine endliche Menge En gegeben. 2. INTERVALLSCHACHTELUNG 57 ist, kann angenommen werden, dass jedes En nichtleer ist.

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