By Ehrhard Behrends

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Wieder können wir uns von R naiv leiten lassen, um zu Eigenschaften angeordneter Körper zu kommen. 3. Sei (K, +,', P) ein angeordneter Körper. (i) 0 gehört nicht zu P. Die Aussage 0 < 0 ist also falsch, und damit lässt sich aus x > 0 immer x =/= 0 folgern. (ii) < X2 und Yl < Y2 impliziert Xl addiert werden") . Xl + YI < X2 + Y2 (" Ungleichungen dürfen (iii) Aus x < Y und z > 0 folgt xz < yz ("Ungleichungen dürfen mit einer positiven Zahl multipliziert werden"). (iv) x < y impliziert x + z < y + z für jedes z ("in Ungleichungen darf auf jeder Seite die gleiche Zahl addiert werden").

Das ist in seiner Wichtigkeit kaum zu überschätzen, quasi alles, was sich über natürliche Zahlen zeigen lässt , beruht darauf. 5. 5 (Prinzip der vollständigen Induktion). Sei A eine Teilmenge von N mit Induktion (i) 1 E A, (ii) n E A impliziert n + 1 E A. ) Dann ist A = N . Beweis: Ist n E N beliebig, so gehört n (nach Definition) zu jeder induktiven Teilmenge, insbesondere zu A. Das beweist A ::J N. h. es ist A = N . 0 Vollständige Induktion muss von allen Mathematikern verinnerlicht werden, dieses Beweisprinzip muss man im Schlaf können.

M sei eine Menge und Meine Teilmenge der Potenzmenge von M . Das bedeutet einfach, dass M aus gewissen Teilmengen von M besteht. Unter dem Durchschnitt über das Mengensystem M verstehen wir dann die Menge aller x, die zu jedem N E M gehören: nM:= {x E M I x E N fü r jedes N E M}. Das ist für Anfänger, die sich gerade mit dem Durchschnitt von zwei Mengen angefreundet haben, ziemlich schwierig , deswegen behandeln wir zur Illustration die folgenden Beispiele: 1. M soll die Menge N naiv sein, und M soll aus denjenigen Teilmengen bestehen, die die Zahl 1234 enthalten.

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